Forme trigonométrique, forme algébrique - Corrigé

Énoncé

Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1.  \(z_1=4\text e^{\frac{-i\pi}{6}}\)

2.   \(z_2=\text e^{i\pi}\)

3.  \(z_3=2\text e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

4.  \(z_4= \sqrt{3}\text e^{\frac{-i\pi}{3}}\)

5.   \(z_5=-3\text e^{\frac{-i\pi}{2}}\)

6.   \(z_6=5\text e^{\frac{11i\pi}{6}}\)

Solution

1. On a : \(z_1=4\text e^{i\frac{-\pi}{6}}=4\left( \cos\dfrac{-\pi}{6}+i\sin\dfrac{-\pi}{6}\right)\)   qui est une forme trigonométrique de \(z_1\) .
De plus, `z_1=4\left( \cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=2\sqrt{3}-2i`   donc la forme algébrique de `z_1`  est : `z_1=2\sqrt{3}-2i` .

2. On a : \(\begin{align*}z_2=\left( \cos(\pi)+i\sin(\pi)\right)\end{align*}\) qui est une forme trigonométrique de `z_2` .  De plus,  \(\begin{align*}z_2=\left( \cos(\pi)+i\sin(\pi)\right)=\left(-1+0i\right)=-1\end{align*}\)   donc la forme algébrique de \(z_2\) est : \(z_2=-1\) .

3. On a : \(z_3 = 2\text e^{i\frac{3\pi}{4}}= 2 \left( \cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\)   qui est une forme trigonométrique de `z_3` . De plus,  `z_3 = 2 \left( \cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)= 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= -\sqrt{2} + \sqrt{2} i`  donc la forme algébrique de `z_3`  est :  `z_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{2} i` .

4. On a :   \(z_4= \sqrt{3}\text e^{\frac{-i\pi}{3}}=\sqrt{3} \left( \cos\dfrac{-\pi}{3}+i\sin\dfrac{-\pi}{3}\right)\) qui est une forme trigonométrique de `z_4` .
De plus,  `z_4= \sqrt{3} \left( \cos\frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right)= \sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)= \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i`  donc la forme algébrique de `z_4` est : `z_4= \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i` .

5. On a :  \(z_5= -3\text e^{i\frac{-\pi}{2}}= -3 \left( \cos\dfrac{-\pi}{2}+i\sin\dfrac{-\pi}{2}\right)= 3 \left(- \cos\dfrac{-\pi}{2}-i\sin\dfrac{-\pi}{2}\right)= 3 \left( \cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\) qui est une forme trigonométrique de `z_5` . De plus, `z_5= 3 \left( \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=3\left(0+1i\right)=3i`   donc la forme algébrique de `z_5` est : `z_5=3i` .

6. On a :  `z_6=5\left( \cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)`  qui est une forme trigonométrique de `z_6` . De plus,  `z_6=5\left( \cos\frac{11\pi}{6}+i\sin\frac{11\pi}{6}\right)=5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{-1}{2}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}i`   donc la forme algébrique de  `z_6`  est : `z_6=\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}i` .